נגזרת של מכפלה, מנה וחזקהחקירת פונקציות טריגונומטריות 571 · שיעור 10
חקירת פונקציות טריגונומטריות · שאלון 571
שיעור 10 – נגזרת של מכפלה, מנה וחזקה
פרק 2 – גזירה ומציאת נקודות קיצון
1נוסח השאלה
2הסבר – מכפלה, מנה, חזקה ושורש
3סעיף א – מכפלה
4סעיף ב – ריבוע של סינוס
5סעיף ג – חזקה שלישית
6סעיף ד – שורש
7סעיף ה – אחד חלקי קוסינוס
8סעיף ו – מנה וזהות
📄 נוסח השאלה
בכל סעיף נתונה פונקציה. מצאו את הנגזרת שלה, ופשטו ככל האפשר.
א. f(x) = x · sin x
ב. f(x) = sin2x . רשמו את הנגזרת בעזרת זווית כפולה.
ג. f(x) = cos3x . מצאו גם את f′(π3) .
ד. f(x) = √sin x בתחום 0 < x < π
📄 נוסח השאלה · המשך
ה. f(x) = 1cos x
ו. f(x) = sin x1 + cos x
הסבר – מכפלה, מנה, חזקה ושורש
כשפונקציות טריגונומטריות כופלות זו את זו, מחלקות זו את זו, או נמצאות בתוך חזקה או שורש – גוזרים לפי אותם כללים שאנחנו מכירים:
מכפלה של שתי פונקציות:
📐 נגזרת של מכפלה
מנה (שבר):
📐 נגזרת של מנה
ביטוי בחזקה – כופלים גם בנגזרת הפנימית:
📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)
שורש של ביטוי:
📐 נגזרת של שורש
שימו לב: sin2x פירושו (sin x)2 – הסינוס כולו בריבוע. לכן זו חזקה, והנגזרת הפנימית היא (sin x)′ = cos x .
📐 נגזרת של מכפלה
(u · v)′ = u′ · v + u · v′
📐 נגזרת של מנה
(uv)′ = u′ · v − u · v′v2
📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)
[un]′ = n · un−1 · u′
📐 נגזרת של שורש
(√u)′ = u′2√u
הסבר – מכפלה, מנה, חזקה ושורש · המשך
שימו לב: sin2x פירושו (sin x)2 – הסינוס כולו בריבוע. לכן זו חזקה, והנגזרת הפנימית היא (sin x)′ = cos x .
אחרי הגזירה כדאי לבדוק אם זהות מוכרת מקצרת את התשובה.
סעיף א – מכפלה
זו מכפלה של שתי פונקציות: u = x ו־v = sin x . נגזור כל אחת:
u′ = 1
v′ = cos x
📐 נגזרת של סינוס
לפי כלל המכפלה:
f′(x) = 1 · sin x + x · cos x
📐 נגזרת של מכפלה
f′(x) = sin x + x cos x
📐 נגזרת של סינוס
(sin x)′ = cos x
📐 נגזרת של מכפלה
(u · v)′ = u′ · v + u · v′
סעיף א – מכפלה · המשך
f′(x) = sin x + x cos x
✅ פתרון סופי: f′(x) = sin x + x cos x
סעיף ב – ריבוע של סינוס
נכתוב sin2x = (sin x)2 . זו חזקה 2 של u = sin x , והנגזרת הפנימית היא u′ = cos x :
f′(x) = 2 · (sin x)1 · cos x
📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)
f′(x) = 2sin x · cos x
הביטוי 2sin x · cos x הוא בדיוק הסינוס של הזווית הכפולה:
f′(x) = sin 2x
📐 סינוס של זווית כפולה
✅ פתרון סופי: f′(x) = sin 2x
📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)
[un]′ = n · un−1 · u′
📐 סינוס של זווית כפולה
sin(2x) = 2 sin x · cos x
סעיף ג – חזקה שלישית
נכתוב cos3x = (cos x)3 . זו חזקה 3 של u = cos x :
u′ = −sin x
📐 נגזרת של קוסינוס
f′(x) = 3cos2x · (−sin x)
📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)
f′(x) = −3cos2x · sin x
נכתוב את הנגזרת ונסמן את x :
f′(x) = −3cos2x · sin x
📐 נגזרת של קוסינוס
(cos x)′ = −sin x
📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)
[un]′ = n · un−1 · u′
סעיף ג – חזקה שלישית · המשך
f′(x) = −3cos2x · sin x
נציב x = π3 :
f′(π3) = −3cos2π3 · sin π3
f′(π3) = −3 · (12)2 · √32
📐 ערכים מיוחדים
f′(π3) = −3 · 14 · √32
f′(π3) = −3√38 ≈ −0.65
📐 ערכים מיוחדים
cos π3 = 12
sin π3 = √32
sin π3 = √32
סעיף ג – חזקה שלישית · המשך
f′(π3) = −3√38 ≈ −0.65
✅ פתרון סופי: f′(x) = −3cos2x · sin x
f′(π3) = −3√38 ≈ −0.65
f′(π3) = −3√38 ≈ −0.65
סעיף ד – שורש
זה שורש של u = sin x . הנגזרת הפנימית:
u′ = cos x
📐 נגזרת של סינוס
לפי כלל השורש:
f′(x) = cos x2√sin x
📐 נגזרת של שורש
בתחום 0 < x < π הסינוס חיובי, ולכן אין בעיה במכנה.
✅ פתרון סופי: f′(x) = cos x2√sin x
📐 נגזרת של סינוס
(sin x)′ = cos x
📐 נגזרת של שורש
(√u)′ = u′2√u
סעיף ה – אחד חלקי קוסינוס
זה שבר: u = 1 במונה ו־v = cos x במכנה. נגזור כל אחד:
u′ = 0
📐 נגזרת של מספר
v′ = −sin x
📐 נגזרת של קוסינוס
לפי כלל המנה, נחשב קודם את שני החלקים של המונה:
u′v = 0 · cos x = 0
📐 נגזרת של מנה
uv′ = 1 · (−sin x) = −sin x
📐 נגזרת של מספר
(c)′ = 0
📐 נגזרת של קוסינוס
(cos x)′ = −sin x
📐 נגזרת של מנה
(uv)′ = u′ · v − u · v′v2
סעיף ה – אחד חלקי קוסינוס · המשך
uv′ = 1 · (−sin x) = −sin x
u′v − uv′ = 0 − (−sin x) = sin x
המכנה הוא v2 = cos2x , ולכן:
f′(x) = sin xcos2x
✅ פתרון סופי: f′(x) = sin xcos2x
סעיף ו – מנה וזהות
זה שבר: u = sin x במונה ו־v = 1 + cos x במכנה. נגזור כל אחד:
u′ = cos x
📐 נגזרת של סינוס
v′ = −sin x
📐 נגזרת של קוסינוס
לפי כלל המנה, נחשב קודם את שני החלקים של המונה:
u′v = cos x(1 + cos x)
📐 נגזרת של מנה
uv′ = sin x · (−sin x) = −sin2x
📐 נגזרת של סינוס
(sin x)′ = cos x
📐 נגזרת של קוסינוס
(cos x)′ = −sin x
📐 נגזרת של מנה
(uv)′ = u′ · v − u · v′v2
סעיף ו – מנה וזהות · המשך
uv′ = sin x · (−sin x) = −sin2x
נחסר, ונפתח את הסוגריים:
u′v − uv′ = cos x + cos2x + sin2x
הסכום cos2x + sin2x שווה 1:
u′v − uv′ = cos x + 1
📐 זהות יסודית
המכנה הוא v2 = (1 + cos x)2 , ולכן:
📐 זהות יסודית
sin2x + cos2x = 1
סעיף ו – מנה וזהות · המשך
המכנה הוא v2 = (1 + cos x)2 , ולכן:
f′(x) = 1 + cos x(1 + cos x)2
מצמצמים את 1 + cos x מהמונה ומהמכנה:
f′(x) = 11 + cos x
✅ פתרון סופי: f′(x) = 11 + cos x
📌 סיכום התשובות
סעיף א
f′(x) = sin x + x cos x
סעיף ב
f′(x) = sin 2x
סעיף ג
f′(x) = −3cos2x · sin x
f′(π3) ≈ −0.65
f′(π3) ≈ −0.65
סעיף ד
f′(x) = cos x2√sin x
סעיף ה
f′(x) = sin xcos2x
סעיף ו
f′(x) = 11 + cos x
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא